IS-LM模型（Hicks-Hansen模型）是凯恩斯《就业、利息和货币通论》的标准化数学表达。它将商品市场和货币市场结合在一个一般均衡框架下，用于分析短期内的产出和利率决定机制。
IS 曲线 (商品市场均衡) #
IS曲线（Investment-Saving）表示商品市场达到均衡时，国民收入（$Y$）与利率（$r$）之间关系的所有组合点。在这些点上，总产出等于总需求，或者说计划投资等于计划储蓄。
核心方程：
$$Y = C(Y - T) + I(r) + G$$
其中：
- $C(Y - T)$ 是消费函数，$T$ 为税收。
- $I(r)$ 是投资函数，与利率成反比。
- $G$ 是政府购买。
斜率推导：
对均衡方程求全微分（假设 $dG = 0$ 且 $dT = 0$）：
$$dY = C_Y dY + I_r dr$$
整理可得IS曲线的斜率：
$$\frac{dr}{dY} = \frac{1 - C_Y}{I_r}$$
由于边际消费倾向 $0 < C_Y < 1$，因此 $1 - C_Y > 0$；同时投资对利率的敏感度 $I_r < 0$。因此，$\frac{dr}{dY} < 0$，IS曲线向右下方倾斜。
LM 曲线 (货币市场均衡) #
LM曲线（Liquidity preference-Money supply）表示货币市场达到均衡时，国民收入与利率的所有组合点。在这些点上，实际货币需求等于实际货币供给。
核心方程：
$$\frac{M}{P} = L(Y, r)$$
其中：
- $M$ 是名义货币供给，$P$ 是价格水平（短期内假设固定），$\frac{M}{P}$ 即实际货币供给。
- $L(Y, r)$ 是实际货币需求（流动性偏好），随收入增加而增加（交易动机），随利率上升而减少（投机动机）。
斜率推导：
对均衡方程求全微分（假设实际货币供给 $\frac{M}{P}$ 固定不变）：
$$0 = L_Y dY + L_r dr$$
整理可得LM曲线的斜率：
$$\frac{dr}{dY} = -\frac{L_Y}{L_r}$$
因为货币需求对收入的偏导数 $L_Y > 0$，对利率的偏导数 $L_r < 0$，所以 $\frac{dr}{dY} > 0$，LM曲线向右上方倾斜。
IS-LM 一般均衡 #
当两条曲线放在同一个 $(Y, r)$ 坐标系中时，它们的交点代表了商品市场和货币市场同时达到均衡的唯一状态。
在这个交点上，经济体决定了短期的均衡利率 $r^$ 和均衡产出 $Y^$：
- 财政政策（如增加政府支出或减税）会使IS曲线向右平移，导致产出增加、利率上升（产生“挤出效应”）。
- 货币政策（如增加名义货币供给）会使LM曲线向右平移，导致利率下降、产出增加。
IS-LM本质上是一个静态的、价格刚性的短期模型，它缺乏显性的微观基础（如家庭和企业的跨期最优化行为）。这也是为什么在更深入的宏观经济学中，往往需要引入动态规划和预期因素来构建更严谨的框架。